组合优化入门：均值方差与风险平价

均值方差：优雅的框架#

均值方差框架的直觉一句话就能说完：在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益下最小化风险。它需要两个输入——每只股票的预期收益向量 μ，和股票间的协方差矩阵 Σ；输出是一组最优权重 w。目标函数常写成：

最大化 wᵀμ − (λ/2)·wᵀΣw，其中 λ 是风险厌恶系数。

这个框架的漂亮之处在于它把”分散化”数学化了：只要资产不完全相关，组合波动就小于成分波动的加权平均——这是组合管理里少有的近似免费的午餐。它还给出了一个重要视角：一只股票值不值得加仓，不取决于它自身的风险收益，而取决于它对组合整体的边际贡献。在多因子语境下，μ 通常直接用上一课合成的因子分（经过缩放）充当。

输入敏感：优雅框架的阿喀琉斯之踵#

均值方差在教科书里完美，在实践中却出名地难用，核心原因是对输入误差极度敏感：

• 预期收益 μ 的微小扰动，会导致最优权重的剧烈翻转。优化器像一台”误差放大器”——它会最大化地押注那些被你高估了预期收益的资产；
• 输出的组合经常极端：满仓押少数几只股票、大量权重贴在约束边界上；
• 每期输入更新后权重大幅跳动，带来不可接受的换手。

而 μ 恰恰是我们估得最不准的东西——因子对收益的预测本来就只有微弱的相关性。所以实务共识是：对 μ 的精度保持悲观，用约束和正则化驯服优化器，而不是指望喂给它精确的预期收益。常见的驯服手段包括：只用 μ 的排序信息而弱化数值大小、把权重向基准或等权收缩、给目标函数加上惩罚换手的项。这些手段的共同精神是一句话——当输入不可靠时，宁可要一个”大致正确”的钝解，也不要一个”精确错误”的锐解。

协方差估计同样困难#

Σ 看起来比 μ 好估，其实也有自己的麻烦：

• 维度灾难：N 只股票的协方差矩阵有 N(N+1)/2 个参数。500 只股票就有超过 12 万个参数，而一年只有约 240 个交易日的数据，样本协方差矩阵噪声极大甚至不可逆；
• 时变性：相关性结构在危机中会集体抬升，“平时分散、跌时抱团”；
• 常见对策：压缩估计（把样本协方差向结构化目标收缩）、因子风险模型（假设股票收益由少数风格/行业因子驱动，把估计对象从 12 万个参数降到几十个因子的协方差）、以及拉长半衰期的指数加权估计。

进阶阶段不必自己实现因子风险模型，但要理解一点：直接把样本协方差矩阵塞进优化器，是新手最常见的翻车方式之一。

风险平价：不猜收益，只配风险#

既然 μ 最不可靠，一个激进的思路是干脆不用它。风险平价（risk parity）的思想是：让每个资产（或每类资产）对组合总风险的贡献相等。

对比三种配置逻辑：

最简化的版本是波动率倒数加权（忽略相关性）：

1
vol = ret.rolling(60).std() * np.sqrt(250)   # 年化波动
2
raw_w = 1.0 / vol.iloc[-1]
3
weights = raw_w / raw_w.sum()                # 归一化

完整的风险平价需要数值求解，使每只资产的风险贡献 wᵢ·(Σw)ᵢ 相等。风险平价常用于大类资产配置（股、债、商品），在股票组合内部则常以”波动率倒数”或”风险预算”的简化形态出现。它的代价也很直白：完全放弃了收益观点，低波动资产会拿到很高的权重。

在多因子选股的语境下，一个折中方案很自然：用因子分决定”选哪些股票”，用风险平价或波动率倒数决定”每只买多少”。选股环节保留收益观点，配权环节只做风险均衡——这比把因子分直接塞进均值方差优化器要稳健得多，实现成本也低，很适合作为进阶阶段的默认方案。

实盘必需的约束#

无论用哪个框架，裸的优化解都不能直接交易。常见约束及其动机：

• 个股上限（如单票不超过 5%）：防止优化器把误差押成重仓，控制个股黑天鹅暴露；
• 行业上限/行业偏离约束（如相对基准行业偏离不超过 ±3%）：把收益来源约束在选股而非行业押注上；
• 换手约束（如单次调仓换手不超过 20%）：直接控制交易成本，也间接抑制了权重对输入噪声的敏感；
• 禁买/剔除清单：停牌、ST、流动性不足的股票直接排除，避免优化解落在无法执行的标的上。

带约束的优化本质是一个二次规划问题，Python 生态里可用 scipy.optimize.minimize 或凸优化库求解。示意（最小化跟踪风险的骨架）：

1
from scipy.optimize import minimize
2

3
def objective(w, mu, cov, lam=10.0):
4
    return -(w @ mu) + 0.5 * lam * w @ cov @ w
5

6
cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1.0}]
7
bounds = [(0.0, 0.05)] * n_assets  # 不做空，单票上限 5%
8
res = minimize(objective, x0, args=(mu, cov), bounds=bounds, constraints=cons)

一个务实的经验：约束收紧到一定程度后，不同优化方法的结果会趋同——约束本身就是最强的正则化。先把约束设计好，再谈优化器的高级技巧。

最后别忘了评价基准：任何优化组合都应与等权组合放在同一回测框架下对比，看年化波动、最大回撤、换手率和成本后收益。如果精心调校的优化器在成本后跑不过等权，说明当前输入质量还撑不起这套复杂度，退回简单方案不丢人。

本课小结#

• 均值方差框架直觉优雅，但对预期收益输入极度敏感，优化器天然是”误差放大器”；
• 协方差矩阵参数量巨大，直接用样本协方差是常见翻车点，压缩估计与因子风险模型是主流对策；
• 风险平价放弃收益预测、只均衡风险贡献，是对输入不确定性的一种务实回应；
• 个股、行业、换手三类约束是实盘组合的标配，约束本身就是最有效的正则化；
• 复杂优化应先与等权、波动率倒数加权这类朴素基准对比，胜出了才有存在的理由。

动手练习：取上一课多因子组合的前 50 只股票，分别用等权和 60 日波动率倒数加权构建两个组合，按月调仓回测，对比两者的年化波动、最大回撤与换手率，体会”只动风险、不动收益观点”能带来多大差异。