主题群三：从二叉树到 BSM——定价的两条路（第 13~18 章）

二叉树：一页纸讲完定价的全部思想（第 13 章，必读）#

假设股价下一步只会涨到 Su 或跌到 Sd。用”Δ 股股票 + 一笔借贷”就能精确复制期权到期的两种支付——组合能复制，价格就唯一确定。整理复制的代数，会得到一个惊人的形式：期权价格等于用”概率” p = (e^(rΔt) − d)/(u − d) 计算的期望支付贴现。

这就是风险中性定价，也是全书最反直觉、最重要的一课：股价上涨的真实概率从头到尾没有出现在公式里。你对涨跌的判断、你的风险偏好，统统不影响期权价格——因为价格由复制成本决定，而复制不需要预测。p 不是真实世界的概率，而是”风险中性世界”里的记账工具。把单步树叠成多步，就能给美式期权定价（每个节点比较行权与持有）。

第 14 章：可以跳的数学#

维纳过程、几何布朗运动（GBM）、伊藤引理。只需带走一个直觉：GBM 假设收益率连续、波动率恒定、路径无跳跃——记住这三条假设，第 20 章批判它时才知道靶子在哪。推导细节跳过不影响后续阅读。

BSM：二叉树取极限（第 15 章，必读）#

把二叉树的步长切到无穷细，就得到 BSM 公式：

c = S₀·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)

读公式比背公式重要：N(d₂) 是风险中性世界里到期行权的概率，所以第二项是”行权价支出的期望现值”；S₀·N(d₁) 是行权时收到股票的期望现值，而 N(d₁) 同时就是期权的 Delta（第 19 章的主角）。整条公式仍然是那句话——期权价格 = 动态复制这份支付所需的成本。

五个输入里四个（股价、行权价、期限、利率）直接可见，只有波动率看不见。于是实务界把公式倒过来用：给定市场价格反解出隐含波动率（implied volatility）。这是全书对量化研究者最重要的概念转换——期权报价的本质是波动率报价，交易员说”这个期权 25 个 vol”而不是说价格。BSM 最大的用处不是”算出正确价格”，而是提供了一把把价格翻译成波动率的尺子。

扩展与词典（第 16~18 章）#

• 第 16 章：员工股票期权，行权特性与会计处理，可当词典；
• 第 17 章：把 BSM 加上连续股息率 q，即可给股指期权、外汇期权定价（外汇的 q 是外币利率）——一招通吃；
• 第 18 章：期货期权与 Black 76 模型：把期货价当作零股息资产代入即可。国内商品期权、股指期权的定价惯例正是 Black 模型，用到时回来查。

带走的三句话#

1. 定价的全部秘密在单步二叉树里：能复制，就有唯一价格，真实概率与你的观点无关。
2. BSM 要会”读”：N(d₂) 是行权概率，N(d₁) 是 Delta，公式是动态复制的成本清单。
3. BSM 真正的产品是隐含波动率——一把把期权价格翻译成波动率的尺子，期权市场用它说话。