ARMA 与单位根：收益率为什么难预测

平稳性：时间序列分析的入场券#

弱平稳 = 均值、方差不随时间漂移，自协方差只依赖间隔。只有平稳序列的历史规律才可外推——这是”用过去预测未来”的全部合法性来源。价格序列不平稳（水平一直在漂），收益率序列近似平稳——所以建模对象永远是收益率而不是价格。这个看似平凡的约定，是新手最常犯错误（拿价格算相关性、回归价格对价格）的解毒剂。

ARMA：线性记忆的全部词汇#

• AR(p)：今天的收益线性依赖过去 p 天的收益——动量/反转的最朴素表达；
• MA(q)：今天的收益依赖过去 q 天的”意外冲击”——短记忆，q 天后彻底遗忘；
• ARMA(p,q)：两者叠加，是所有线性单变量预测模型的完备语法。

工作流程三步：看 ACF/PACF 定阶（或用 AIC/BIC 选），估计参数，对残差做 Ljung–Box 检验确认没剩线性结构。值得内化的不是流程而是结论：对股票日收益率拟合 ARMA，估出来的系数即使显著也极小，可解释的方差不到百分之几——线性词汇能从收益率里挤出的可预测性就这么多。刨去交易成本后所剩无几，这是”收益难预测”的第一份定量证据。

单位根：随机游走的正式身份证#

价格的不可预测有个精确表述：随机游走，即 p_t = p_{t-1} + ε_t，AR 系数恰好等于 1（单位根）。含单位根的序列冲击永不衰减——今天的意外会全额留在未来所有价格里。

• ADF 检验：原假设”存在单位根”。对股价、指数水平做 ADF，几乎总是无法拒绝——价格统计上与随机游走难以区分；
• 差分（取收益率）一次即平稳，所以价格是 I(1)，收益率是 I(0)——第 5 页协整的伏笔：两个 I(1) 序列的某个组合可能是 I(0)，那就是配对交易的统计地基。

注意结论的分寸：无法拒绝单位根 ≠ 证明市场有效，单位根检验对”接近 1 但小于 1”的缓慢均值回复功效很低。市场可能存在微弱的可预测成分，只是藏在检验的分辨率之下——这恰好是量化研究的生存空间：用横截面（几千只股票）补足时间序列上功效的不足。

长记忆：介于”忘光”与”永不忘”之间#

ARMA 的记忆按指数衰减（很快忘光），单位根永不遗忘，真实数据里还有第三种：长记忆——自相关按幂律缓慢衰减，典型如波动率序列、成交量序列。分数差分 I(d)（0<d<0.5）是它的模型语言。这与曼德博的约瑟效应是同一现象的两种表述，也与《金融机器学习》里”分数差分特征”一节直接相承：平稳性与记忆保留之间存在取舍，整数差分（直接取收益率）其实把长记忆信息也差掉了一部分。

对因子研究的意义#

1. 时间序列方向的线性 alpha 极薄，横截面才是主战场——同一个反转逻辑，做成横截面因子（本平台 reversal 因子的做法）比做成单资产择时稳健得多；
2. 因子 IC 序列本身是时间序列：对它做 ACF、Ljung–Box，检查 IC 的自相关与衰减，是量化学堂因子分析一课之外值得加的一步；
3. 任何”价格对价格”的回归先问一句：两边平稳吗？不平稳先差分或先做协整检验，否则 R² 再高也可能是伪回归。

本页带走的三句话#

1. 平稳性是外推的入场券：建模收益率而非价格，是这张券的最低票价；
2. ARMA 是线性预测的完备语法，而它在日收益率上只能挤出百分之几的方差——收益难预测由此有了定量版本；
3. 价格是 I(1)，收益是 I(0)，两个 I(1) 的平稳组合叫协整——记住这三个符号，第 5 页直接兑现成配对交易。