第四部 圣彼得堡悖论：凯利 vs 萨缪尔森

三百年前的伏笔#

圣彼得堡悖论（伯努利，1738）：一个期望收益无穷大的抛硬币赌局，没人愿意出高价参加。伯努利的解法是引入对数效用——财富翻倍带来的快乐，与你已有多少财富成反比。两百年后，凯利准则在数学上恰好等价于”最大化对数财富”，于是老悖论成了新论战的战场。

支持方：几何均值学派#

拉塔内 1950 年代独立提出”几何平均数准则”用于选择投资组合，马科维茨在《组合选择》里专章讨论过它。核心主张：

• 长期投资比的是复合增长率（几何均值），不是单期期望（算术均值）；
• 按凯利/几何均值准则行动，当时间足够长，你的财富几乎必然超过任何”本质不同”的策略；
• 波动是复利的税：几何均值 ≈ 算术均值 − 方差 ÷ 2，同样的平均收益，波动越大终点越矮。

反对方：萨缪尔森的三板斧#

萨缪尔森（1970 年诺奖得主，MIT 经济学皇帝）带着门生默顿正面开火，火力集中在三点：

1. “长期”救不了逻辑：他称之为大数谬误——单次不该接受的赌局，重复一万次也不会自动变得该接受；“几乎必然赢”不等于”期望效用更高”，因为剩下那个小概率里藏着巨大的差距；
2. 效用函数是私事：凯利准则只对”效用恰好是对数”的人最优。比对数更保守的人（多数人）按凯利下注嫌太重，更激进的人嫌太轻——用一个公式规定所有人的风险偏好，是数学对经济学的越权；
3. 为了嘲讽到位，他 1979 年发表了那篇著名论文《为何长线也不该最大化对数财富》——通篇（除最后一个词外）全部使用单音节英文单词，意思是：道理简单到用小学生词汇就能讲清，你们怎么还不懂。

这场架谁赢了#

Poundstone 的立场（也是实务界的共识）：数学上萨缪尔森全对，实践上凯利派更有用。

• 萨缪尔森对在：凯利不是普适最优，它内嵌了一个特定的目标函数；任何有限期限内它都可能大幅落后；
• 凯利派对在：对”可长期重复、优势可估、破产不可接受”的职业玩家（赌徒、做市商、量化基金），复合增长率就是合理目标，此时凯利给出的是上限意义上的答案；
• 双方共识常被忽略：超过凯利的仓位在任何效用函数下都是错的——押到两倍凯利，增长率归零；再多，长期必然归零。争议只在”凯利以下押多少”，“凯利以上”没有争议。

所以实务的落点是：把凯利当天花板，不当目标。在天花板之下按自己的回撤容忍度打折（半凯利、四分之一凯利）——这既回应了萨缪尔森（效用是私事），也保住了凯利（永不过度下注）。

本页带走的三句话#

1. 几何均值 ≈ 算术均值 − 方差 ÷ 2：波动是复利的税，这是双方都认的数学；
2. 萨缪尔森是对的：凯利不是普适最优，“长期”不能替你选择效用函数；
3. 凯利也是对的：满凯利是所有理性仓位的上限——天花板之上，人人都错。