卷 I（上）：二叉树里的定价三部曲

玩具世界的设定#

一期模型：股价今天是 S，下一期要么涨到 uS，要么跌到 dS；银行存款利率 r。唯一的假设是无套利：市场上不存在零成本、零风险、却稳赚的机会。这个假设立刻给出约束 d < 1 + r < u——否则借钱买股票（或做空存银行）就是印钞机。

现在问：一张下一期到期的看涨期权，今天该值多少钱？

第一步：复制——价格是”造出来”的#

Shreve 的答案不靠预测涨跌概率，靠复制：用 Δ 股股票加一笔存款拼一个组合，调 Δ 和存款数额，让组合在”涨”和”跌”两种结局下的价值都恰好等于期权的赔付。两个未知数、两个方程，唯一解。

既然这个组合和期权在所有未来状态下分文不差，无套利就要求它们今天同价——期权价格 = 复制组合的建造成本。这就是定价的全部逻辑：不是”我觉得它值多少”，而是”造一个一模一样的东西要花多少”。

第二步：最反直觉的结论——真实概率不进公式#

把复制的解整理一下会发现一个惊人的事实：期权价格里根本没有出现股票上涨的真实概率。你认为这只股票 90% 会涨，我认为只有 10%，只要我们对 u、d、r 没有分歧，我们算出的期权价格一模一样。

为什么？因为复制组合在两种结局下都严丝合缝，概率是多少无关紧要——就像给房子上了全额保险，你不需要知道失火概率也知道自己不会亏。真实概率没有消失，它藏在 u 和 d 里：涨跌幅度（波动率）才是期权价格的命门。这正是 BSM 公式里有波动率 σ 而没有期望收益 μ 的二叉树版本。

第三步：风险中性概率——把定价变成求期望#

整理复制解时会自然冒出一个量 p̃ = (1 + r − d) / (u − d)。它在 0 和 1 之间，长得像概率，但不是任何人心中的真实概率——它是让”期权价格 = 折现赔付的期望”这个式子成立的记账权重。

用 p̃ 记账时，股票的期望收益恰好等于无风险利率——仿佛世界上所有投资者都不要求风险补偿，所以叫”风险中性”。它的价值是操作性的：复制是思想，求期望是算法。多期二叉树上从到期日逐层往回倒推（逆向归纳），每一步都是”折现 + 按 p̃ 求期望”，机械且好编程。

鞅与马尔可夫：第 2 章埋下的两根柱子#

• 鞅：在风险中性测度下，折现后的股价是鞅——“公平游戏”，当前值就是未来值的最优预报。这句话是整套理论的中枢：卷 II 的风险中性定价公式、鞅表示定理，都是它的连续时间放大版；
• 马尔可夫：未来的分布只依赖当前状态、不依赖来时路径。有它，期权价格才能写成”当前股价的函数”，逆向归纳才不会状态爆炸。路径依赖型期权（亚式等）破坏的就是这条性质。

本页带走的三句话#

1. 衍生品价格是复制成本：造一个未来赔付分文不差的组合，无套利要求两者今天同价；
2. 真实涨跌概率不进定价公式，波动率（涨跌幅度）才进——这是”BSM 没有 μ”的玩具版；
3. 风险中性概率是记账工具不是信念：它把”复制”这个思想变成”折现求期望”这个算法。