卷 II（上）：布朗运动与伊藤积分
对应卷 II 第 1~4 章：一般概率论、信息与条件化、布朗运动、随机分析。这是全书数学最重的四章，但思想只有一条：把二叉树的”逐期”语言升级成能处理连续时间的语言。本页只讲每个工具”为什么非要不可”。
第 1~2 章 测度论：不是炫技，是刚需
连续世界里股价可以取任意实数，“每个点的概率”全是零，逐点赋概率的老办法失效——所以需要测度论：不给单点赋概率，给事件的集合赋概率。对读者更重要的是第 2 章对”信息”的刻画：
- σ-代数 = 某时刻你能分辨的事件全体，信息流（filtration）就是”随时间越分越细的账本”；
- 条件期望 = 只用现有信息做出的最优估计，是个随机变量而不是数；
- 卷 I 的鞅、马尔可夫、停时在这套语言下全部原样升级，一个概念都不用重学。
第 3 章 布朗运动：随机游走的极限
把二叉树的步长切细、每步涨跌幅相应缩小，随机游走的极限就是布朗运动：增量独立、正态、路径连续。它有一个决定一切的病理性质——路径处处连续却处处不可导，普通微积分对它全面失效，这就是必须发明”随机分析”的原因。
失效的根源叫二次变差：光滑函数的路径在细分后平方增量之和趋于零，布朗运动的却不归零——每单位时间恰好积累 1。写成口诀就是 dW·dW = dt：布朗运动的”平方级小量”和时间的”一次级小量”同阶。整个伊藤分析就是围绕这一条口诀展开的记账规则。
第 4 章上半 伊藤积分：不能偷看未来的积分
想给”连续调仓的交易损益”一个数学定义：持仓 × 价格变动，对时间累加。问题是价格路径不可导，黎曼积分的老办法（在小区间内随便取点）会出岔子——在区间右端取点等于允许你先看到价格变动再决定仓位，是偷看未来。
伊藤积分的定义只做了一个金融上天经地义的选择：持仓必须在区间左端点决定（被积过程适应于信息流）。由此得到两个礼物：伊藤积分是鞅（不能偷看未来的交易是公平游戏，赚不到期望意义上的钱），且其方差可以用伊藤等距公式直接算。本平台回测引擎”用前一日收盘决定持仓、当日结算收益”的规则，就是伊藤积分取左端点的离散版。
第 4 章下半 伊藤公式：带修正项的链式法则
对布朗运动的函数做微分，普通链式法则要加一个二阶修正项——因为 dW·dW = dt，泰勒展开的二阶项不再是高阶小量，必须入账。这就是伊藤公式（书中称 Ito-Doeblin 公式），随机分析里唯一需要背下来的计算规则。
它的金融体感非常具体：修正项就是期权的 Gamma 项。持有期权的人天然吃”波动的平方”，做对冲的人天然付出它——BSM 方程里 Gamma 与时间损耗 Theta 的对冲关系，数学上就是伊藤公式的二阶项在说话。章末用伊藤公式解出几何布朗运动——BSM 世界的标准股价模型，对数收益正态、价格永不为负。
本页带走的三句话
- 测度论是为了在连续世界里谈”信息”：σ-代数是账本，条件期望是只用账本做的最优估计；
- 布朗运动处处不可导，但二次变差有规律（dW·dW = dt）——随机分析的全部计算围绕这条口诀；
- 伊藤积分规定持仓在区间左端决定——“交易不能偷看未来”这条纪律被写进了积分的定义里。