卷 II（下）：风险中性定价、BSM 与后续版图

第 5 章 Girsanov 定理：换测度只动漂移，不动波动率#

卷 I 用改重系数换测度，连续时间的对应物是 Girsanov 定理，其结论一句话：换测度可以任意改变布朗运动的漂移，但动不了波动率。选一个合适的测度，让股票的漂移从 μ 变成无风险利率 r——风险中性世界建成。

这一句话直接解释了 BSM 公式最著名的谜题：为什么公式里没有 μ。因为定价全程在风险中性测度下进行，μ 在换测度时被抹掉了；而 σ 是换不掉的，所以留了下来。这正是二叉树里”真实概率不进公式、涨跌幅度才进”的连续时间版。

定价公式随之而来：衍生品价格 = 风险中性测度下折现赔付的条件期望。配套的鞅表示定理回答”复制组合真的存在吗”——风险中性世界里的任何鞅都能写成对布朗运动的积分，翻译过来：任何赔付都存在一个连续调仓的对冲策略去复制它。无套利给唯一性，鞅表示给存在性，定价体系闭环。

第 6 章 两种语言：PDE 与期望是同一件事#

对”价格 = 条件期望”用伊藤公式展开，就得到 BSM 偏微分方程；反过来，Feynman-Kac 定理说这类 PDE 的解就是某个条件期望。两种表述完全等价，对应两条计算路线：

• PDE 路线：数值解方程（有限差分），适合美式等带自由边界的问题；
• 期望路线：蒙特卡洛模拟路径求平均，适合高维和路径依赖问题。

实务中定价引擎在两条路线间切换，理论根基都在这一章。而对冲的操作含义也在此落地：复制组合里的持股数就是价格对股价的偏导——Delta 对冲不是经验法则，是复制策略的显式解。

第 7~11 章 应用版图：一页速览#

• 第 7 章 奇异期权：障碍、回望、亚式。卷 I 第 5 章的反射原理在此兑现——布朗运动最大值的分布给出障碍期权闭式解；亚式期权破坏马尔可夫性，须扩充状态变量；
• 第 8 章 美式期权：停时理论的连续时间版，永久美式看跌有闭式解，一般美式归结为自由边界问题——“行权边界”本身是解的一部分；
• 第 9 章 计价单位变换：记账货币本身也可以换（股票、外币、债券皆可为”尺子”），换尺子配换测度，许多汇率与利率产品的定价一步简化；卷 I 的远期测度在此正名；
• 第 10 章 利率期限结构：从短率模型（Vasicek、CIR、Hull-White）到 HJM 框架——直接给整条远期利率曲线建模，无套利化为对漂移的约束（HJM 漂移条件）；再到市场实际使用的远期 LIBOR 模型（BGM），用第 9 章的远期测度让 Caplet 定价回到 Black 公式；
• 第 11 章 跳过程：泊松跳打破”连续路径”假设后，市场不再完备——复制不再万能，单靠无套利定不出唯一价格，风险中性测度有无穷多个。这是全书诚实的结尾：BSM 体系的边界画在这里，跳风险、波动率微笑、不完备市场是下一代模型的战场。

本页带走的三句话#

1. Girsanov 定理是”BSM 公式没有 μ”的正式答案：换测度能抹掉漂移，永远抹不掉波动率；
2. PDE 与期望是同一价格的两种写法（Feynman-Kac），分别通向有限差分和蒙特卡洛两条工程路线；
3. 跳过程一进场市场就不完备，复制失效、价格不再唯一——BSM 的干净世界到第 11 章为止。