卷 I（下）：换测度、美式期权与随机利率

第 3 章 换测度：给每条路径重新记账#

第 2 页说风险中性概率是”记账权重”，第 3 章把这件事做成了正式工具：换测度就是给每条价格路径乘一个改重系数（Radon-Nikodym 导数），把真实世界的账本换算成风险中性世界的账本。

更有金融味的说法是状态价格：“只在那个状态下赔付 1 元”的凭证，今天值多少钱？值钱程度 = 风险中性概率 × 折现。灾难状态的 1 元比繁荣状态的 1 元贵——因为雪中送炭。换测度的本质就是把”雪中送炭更值钱”这个定价直觉编码成数学。这一章还顺手推出了资本资产定价模型（CAPM）的二叉树版本，暗示两套定价语言（随机贴现因子与风险中性测度）是同一件事。

第 4 章 美式期权：定价遇上”何时行动”#

欧式期权只在到期日结算，美式期权随时可以行权——定价问题第一次和决策问题绑在一起。Shreve 的处理分三层：

• 停时：行权时机必须是”只用已有信息就能判断该不该停”的规则，不能偷看未来——这个概念本身就值回票价，它是一切”何时止盈止损”问题的数学语言；
• 价格 = 最优停时下的最大期望：美式期权价值是对所有合法行权策略取最优，其价格过程是一个上鞅（Snell 包络）：不行权的区域里像鞅，该行权的区域里”漏值”；
• 著名推论：无分红股票的美式看涨不该提前行权，价格与欧式相同；美式看跌则真的可能提前行权——提前拿回现金吃利息是有价值的。

第 5 章 随机游走：为奇异期权修路#

这一章表面是纯概率（对称随机游走的首达时刻、反射原理），实际是为卷 II 第 7 章铺路：障碍期权、回望期权的定价全靠”路径最大值的分布”，而算这个分布的钥匙就是反射原理——把首次触线后的路径沿线翻折，触线路径与翻折路径一一对应，数路径的难题变成对称性的算术。章末用它算出了永久美式看跌的显式价格，是全书第一个”闭式解”。

第 6 章 随机利率：折现因子不再无辜#

前五章利率是常数，折现因子可以提到期望号外面；利率一旦随机，折现因子必须留在期望号里面和赔付一起算——这一个变化就是利率衍生品全部复杂性的来源。本章两个要点：

• 远期价格 ≠ 期货价格：两者的差异恰好来自利率与标的的相关性——每日结算的期货现金流会撞上随机利率；
• 远期测度：换一个计价单位（用零息债券当记账货币）可以让远期价格变成鞅，定价再次简化。这是卷 II 第 9~10 章（计价单位变换、远期 LIBOR 模型）的预告片。

本页带走的三句话#

1. 换测度 = 给每条路径重新记账，本质是把”雪中送炭的钱更值钱”编码成数学；
2. 美式期权把定价和”何时行动”绑定：停时是一切择时决策的数学语言，无分红美式看涨不提前行权；
3. 利率一旦随机，折现因子就要进期望号内部——远期测度这种”换记账货币”的技巧因此而生。